Von 1994 bis 2009 gehörte der Polizeibeamte der SPD-Fraktion des Gemeinderats an. Zuvor war er 15 Jahre im Bezirksbeirat Feuerbach, davon zehn Jahre als Sprecher der SPD-Fraktion. Schon zu dieser Zeit galt sein Augenmerk der Stadtplanung. Von 2009 bis 2014 war Thurner nochmals Mitglied im Bezirksbeirat Feuerbach.
Als Stadtrat engagierte er sich im Ausschuss für Bodenordnung und im Ausschuss für Umwelt und Technik, wo er Sprecher für Umwelt seiner Fraktion war. Von 1994 bis 2004 saß Thurner auch im Sozialausschuss und leistete Pionierarbeit in der kommunalen Kriminalprävention, wobei er seine beruflichen Erfahrungen einbringen konnte. Zudem war er Mitglied im Beirat für Gleichstellungsfragen.
Robert Thurner trat 1978 in die SPD ein und engagierte sich im Arbeitskreis Polizei Stuttgart. Er war stellvertretender Ortsvereinsvorsitzender der SPD in Feuerbach, von 1988 bis 2000 Ortsvereinsvorsitzender. Zehn Jahre war er als stellvertretender Vorsitzender im Beirat Polizei beim Landesvorstand aktiv. Seit 2017 ist er Mitglied im Vorstand der Sozialdemokratischen Gemeinschaft für Kommunalpolitik (SGK). Thurner moderierte von 2010 bis 2015 die Arbeitsgruppe Städtebauliche Entwicklung im Rahmen des Zukunftsforums Feuerbach. Er war zudem Vizepräsident des Skiclub Weilimdorf. 2012 absolvierte er eine Ausbildung zum Fachtrainer für bürgerschaftliches Engagement.
Um sich fit zu halten, treibt Thurner Sport, so oft es die Zeit zulässt. Mindestens einmal die Woche besucht er das Hallenbad, wo er seine 1000 Meter Schwimmen absolviert. An den Wochenenden unternimmt er Wanderungen in Stuttgart und in der Region, im Winter fährt er Ski in den Alpen. Seit 21 Jahren legt er zusammen mit anderen Stadträtinnen und Stadträten jährlich das Deutsche Sportabzeichen ab.
Robert Thurner erhielt 2014 die Ehrennadel des Landes Baden-Württemberg, 2019 erhielt er die Ehrenmünze der Landeshauptstadt Stuttgart.