Der gebürtige Kölner hatte seine berufliche Laufbahn im gehobenen Verwaltungsdienst der Stadt Köln begonnen. Anschließend war er bei der Lufthansa beschäftigt. 1962 trat Linhart in den Dienst der Stadt Stuttgart ein und arbeitete zunächst im Kulturamt. Nach mehrjährigem Dienst als stellvertretender Amtsleiter des städtischen Presse- und Informationsamts wurde Franz Linhart 1973 vom Gemeinderat zum Leiter des Schulverwaltungsamts gewählt. Mit großem Engagement füllte er diese Tätigkeit bis zu seiner Pensionierung im Jahr 1991 aus.
Während seiner 18-jährigen Amtszeit engagierte sich Franz Linhart anfangs insbesondere für die Planung und den Ausbau der Allgemeinbildenden Schulen, um die Versorgung der geburtenstarken Jahrgänge sicherzustellen. Durch den Bau zahlreicher Schulzentren wurde eine starke Entlastung der Innenstadtschulen erreicht. Ein weiterer Schwerpunkt von Linharts Tätigkeit war der Ausbau der beruflichen Schulen und der Sportstätten. Mit der steigenden Zahl dreiteilbarer Sporthallen in Stuttgart verbesserte sich die Sportstättensituation für Schulen und Vereine deutlich.