Von 1994 bis 2009 gehörte der Polizeibeamte der SPD-Fraktion des Gemeinderats an. Zuvor war er 15 Jahre im Bezirksbeirat Feuerbach, davon zehn Jahre als Sprecher der SPD-Fraktion. Schon zu dieser Zeit galt sein Augenmerk der Stadtplanung. Von 2009 bis 2014 war Thurner nochmals Mitglied im Bezirksbeirat Feuerbach.
Als Stadtrat engagierte er sich im Ausschuss für Bodenordnung und im Ausschuss für Umwelt und Technik, wo er Sprecher für Umwelt seiner Fraktion war. Von 1994 bis 2004 war Thurner auch im Sozialausschuss und leistete Pionierarbeit in der kommunalen Kriminalprävention, wobei er seine beruflichen Erfahrungen einbringen konnte. Zudem war er Mitglied im Beirat für Gleichstellungsfragen.
Seit fünf Jahren engagiert sich Robert Thurner als Moderator einer Arbeitsgruppe im Zukunftsforum Feuerbach. Er ist stellvertretender Ortsvereinsvorsitzender der SPD in Feuerbach, Vorsitzender der Sozialdemokratischen Gemeinschaft für Kommunalpolitik (SGK) sowie Vizepräsident des Skiclub Weilimdorf. Um sich fit zu halten, treibt Thurner Sport, so oft es die Zeit zulässt. Mindestens einmal die Woche besucht er das Hallenbad, wo er seine 1000 Meter Schwimmen absolviert. An den Wochenenden macht er gerne Radtouren und Wanderungen in Stuttgart und in der Region, im Winter fährt er Ski in den Alpen. Seit 16 Jahren legt er zusammen mit anderen Stadträtinnen und Stadträten jährlich das Deutsche Sportabzeichen ab.