Fürnrohr kam 1963 als Assistenzarzt an die Chirurgische Klinik im Katharinenhospital und wurde bereits zwei Jahre später zum Oberarzt ernannt. Ab 1973 stand er als Ärztlicher Abteilungsleiter der neu gegründeten Abteilung für Gefäßchirurgie vor. Nach der Gründung des Zentrums für Chirurgie führte Fürnrohr ab 1991 die Bezeichnung "Ärztlicher Direktor".
Dank seines Engagements und seiner Fachkompetenz enwickelte die Klinik internationale Standards und erlangte große Reputation. Unter Fürnrohrs Leitung deckte die Einrichtung das gesamte Spektrum der Diagnostik und Therapie von Arterien- und Venenerkrankungen ab.
Nach 33-jähriger Dienstzeit wurde Dr. Fürnrohr 1996 in den Ruhestand verabschiedet.