Baur ist gelernter Elektroinstallateur, schulte aber um und arbeitete beim Jugendamt. Zunächst als Erzieher im Kinderheim Rohr, nach dem Studium an der Fachhochschule Kiel als Diplom‐Sozialpädagoge im Notaufnahmeheim Kernerstraße. Ende der 70er‐Jahre schloss sich Baur den Grünen an. Von 1981 bis 1984 war er Mitglied des Bezirksbeirats Süd, von 1989 bis 1997 engagierte er sich im Bezirksbeirat Mitte auf Stadtteilebene, davor von 1979 bis 1983 im Bezirksbeirat Süd. Zu seinen kommunalpolitischen Schwerpunkten gehörten vor allem der soziale Bereich sowie Jugend, Krankenhäuser und Sport.
Auch heute noch ist der Alt‐Stadtrat ehrenamtlich sozial tätig. Er setzt sich dafür ein, die Rechte der Kinder einzufordern, war mehr als zehn Jahre Vorsitzender des Aktivspielplatzes Raitelsberg, seit 30 Jahren Mitglied im Kinderschutzbund.
Baur war von 1987 bis 1995 Jugendschöffe. Während seiner Zeit als Stadtrat gehörte er außerdem zum Vorstand des Stuttgarter Jugendhaus-Vereins. Georg Baur ist Mitbegründer der Initiative „Männer gegen Männergewalt“, in der er von 1985 bis 1995 aktiv war. Seit 25 Jahren ist er Mitglied bei Pro Familia. Baur engagiert sich gegen Stuttgart 21. Seit 2015 betreut und begleitet er syrische und andere Flüchtlinge.